Question

1．在平面直角坐標系中，已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{6}=1$，設(shè)第一象限內(nèi)的點R（x₀，y₀）在橢圓C上，從原點O向圓R：（x-x₀）²+（y-y₀）²=4作兩條切線，切點分別為P、Q．
（Ⅰ）當OP⊥OQ時，求圓R的方程；
（Ⅱ）是否存在點R，當直線OP，OQ斜率k₁、k₂都存在時，使得k₁k₂-$\frac{{k}_{1}+{k}_{2}}{{x}_{0}{y}_{0}}$+1=0？若存在，求點R的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過直線OP，OQ互相垂直，以及點的坐標適合橢圓方程，求出圓的圓心，然后求圓R的方程；
（Ⅱ）當直線OP，OQ斜率k₁、k₂都存在時，推導(dǎo)出k₁，k₂是方程（x₀²-4）k²-2x₀y₀k+y₀²-4=0的兩個不相等的實數(shù)根，由此利用達定理結(jié)合已知條件得到x₀=$\sqrt{19}$，${{y}_{0}}^{2}=\frac{1}{2}-\frac{19}{2}$=-9不成立，從而得到不存在點R，當直線OP，OQ斜率k₁、k₂都存在時，使得k₁k₂-$\frac{{k}_{1}+{k}_{2}}{{x}_{0}{y}_{0}}$+1=0．

解答 解：（Ⅰ）由題意圓的半徑為2，
∵OP⊥OQ，且OP、OQ都與圓相切，
∴OR=$\sqrt{4+4}$=2$\sqrt{2}$，∴${{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}$=8，①
∵點R（x₀，y₀）在橢圓C上，∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{12}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{6}=1$，②
由①②及R在第一象限，解得x₀=y₀=2，
∴圓R的方程為：（x-2）²+（y-2）²=4．
（Ⅱ）不存在點R，當直線OP，OQ斜率k₁、k₂都存在時，使得k₁k₂-$\frac{{k}_{1}+{k}_{2}}{{x}_{0}{y}_{0}}$+1=0．
理由如下：
∵當直線OP，OQ斜率k₁、k₂都存在時，從原點O向圓R：（x-x₀）²+（y-y₀）²=4作兩條切線，切點分別為P、Q，
∴直線OP：y=k₁x，直線OQ：y=k₂x均于圓R相切，
∵直線OP：y=k₁x，OQ：y=k₂x，與圓R相切，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}x}\\{（x-{x}_{0}）^{2}+（y-{{y}_{0}）}^{2}=4}\end{array}\right.$，化簡得（1+${{k}_{1}}^{2}$）x²-（2x₀+2k₁y₀）x+${{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}$-4=0，
同理$（1+{{k}_{2}}^{2}）{x}^{2}-（2{x}_{0}+2{k}_{2}{y}_{0}）x+{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}-4=0$，
∴k₁，k₂是方程（x₀²-4）k²-2x₀y₀k+y₀²-4=0的兩個不相等的實數(shù)根，
∴k₁k₂=$\frac{-b+\sqrt{^{2}-4ac}}{2a}$•$\frac{-b-\sqrt{^{2}-4ac}}{2a}$=$\frac{c}{a}$=$\frac{{{y}_{0}}^{2}-4}{{{x}_{0}}^{2}-4}$，k₁+k₂=$\frac{2{x}_{0}{y}_{0}}{{{x}_{0}}^{2}-4}$，
∵點R（x₀，y₀）在橢圓C上，∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{12}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{6}=1$，
即${{y}_{0}}^{2}$=$\frac{1}{2}-\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$，
∴k₁k₂-$\frac{{k}_{1}+{k}_{2}}{{x}_{0}{y}_{0}}$+1=$\frac{{{y}_{0}}^{2}-4}{{{x}_{0}}^{2}-4}$-$\frac{2}{{{x}_{0}}^{2}-4}$+1=$\frac{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}-10}{{{x}_{0}}^{2}-4}$=$\frac{\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}-\frac{19}{2}}{{{x}_{0}}^{2}-4}$=0，
解得x₀=$\sqrt{19}$，${{y}_{0}}^{2}=\frac{1}{2}-\frac{19}{2}$=-9不成立，
故不存在點R，當直線OP，OQ斜率k₁、k₂都存在時，使得k₁k₂-$\frac{{k}_{1}+{k}_{2}}{{x}_{0}{y}_{0}}$+1=0．

點評 本題考查直線與橢圓的綜合應(yīng)用，直線與圓相切關(guān)系的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．