Question

20．已知函數(shù)y=mx與y=e^x在[-1，+∞）上無(wú)交點(diǎn)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義先求出直線(xiàn)和曲線(xiàn)相切的時(shí)候m的值，再求出直線(xiàn)與曲線(xiàn)在x=-1時(shí)m的值，結(jié)合圖象得到m的取值范圍．

解答 解：如圖所示，設(shè)直線(xiàn)y=mx與y=e^x在相切且切點(diǎn)為（x₀，${e}^{{x}_{0}}$），x₀≥-1，
∴y′|x=x₀=${e}^{{x}_{0}}$=m，
又∵m=$\frac{{e}^{{x}_{0}}}{{x}_{0}}$，
∴${e}^{{x}_{0}}$=$\frac{{e}^{{x}_{0}}}{{x}_{0}}$，
∴x₀=1，y₀=e，
∵函數(shù)y=mx與y=e^x在[-1，+∞）上無(wú)交點(diǎn)，
∴m＜$\frac{e}{1}$=e，
當(dāng)x=-1時(shí)，-m=$\frac{1}{e}$，
即m=-$\frac{1}{e}$，
∵函數(shù)y=mx與y=e^x在[-1，+∞）上無(wú)交點(diǎn)，
∴m＞-$\frac{1}{e}$，
綜上所述，m的取值范圍為（-$\frac{1}{e}$，e）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)的取值范圍，關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題．