Question

16．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞b＞0）$，短軸頂點(diǎn)B（0，b），若橢圓內(nèi)接三角形BMN的重心是橢圓的左焦點(diǎn)F，求橢圓的離心率的取值范圍．

Answer 1

分析 設(shè)邊MN的中點(diǎn)為D，由$\overrightarrow{BF}=2\overrightarrow{FD}$，$\overrightarrow{OD}$=$（-\frac{3c}{2}，-\frac{1}{2}b）$．設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則$\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{1}^{2}}{^{2}}=1$，$\frac{{x}_{2}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{2}^{2}}{^{2}}=1$，可得：k=-$\frac{3bc}{{a}^{2}}$．直線MN的方程為：y+$\frac{1}{2}$b=-$\frac{3bc}{{a}^{2}}$$（x+\frac{3c}{2}）$，與橢圓方程聯(lián)立可得：（4a²+36c²）x²+（108c³+12a²c）x+81c⁴+18a²c²-3a⁴=0，由于直線MN與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，可得△＞0，即可得出．

解答 解：設(shè)邊MN的中點(diǎn)為D，∵$\overrightarrow{BF}=2\overrightarrow{FD}$，∴$\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OF}$+$\frac{1}{2}\overrightarrow{BF}$=（-c，0）+$\frac{1}{2}$（-c，-b）=$（-\frac{3c}{2}，-\frac{1}{2}b）$．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則$\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{1}^{2}}{^{2}}=1$，$\frac{{x}_{2}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{2}^{2}}{^{2}}=1$，
相減可得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{a}^{2}}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{^{2}}$=0，
∴$\frac{-3c}{2{a}^{2}}$-$\frac{bk}{2^{2}}$=0，解得k=-$\frac{3bc}{{a}^{2}}$．
∴直線MN的方程為：y+$\frac{1}{2}$b=-$\frac{3bc}{{a}^{2}}$$（x+\frac{3c}{2}）$，化為：y=-$\frac{3bc}{{a}^{2}}$x-$\frac{9b{c}^{2}+{a}^{2}b}{2{a}^{2}}$，
代入橢圓方程可得：（4a²+36c²）x²+（108c³+12a²c）x+81c⁴+18a²c²-3a⁴=0，
由于直線MN與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，∴△=（108c³+12a²c）²-4（4a²+36c²）（81c⁴+18a²c²-3a⁴）＞0，
化為e²$＜\frac{1}{3}$，
解得：$0＜e＜\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴橢圓的離心率的取值范圍是$0＜e＜\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、直線與橢圓相交問(wèn)題，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．