Question

8．若x＞0，y＞0，$\sqrt{x}+\sqrt{y}≤m\sqrt{x+y}$則實(shí)數(shù)m的最小值為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 原不等式即為m≥$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x+y}}$，令z=$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x+y}}$，兩邊平方，再由基本不等式可得z的最大值，即可得到m的最小值．

解答 解：不等式$\sqrt{x}+\sqrt{y}≤m\sqrt{x+y}$，即為
m≥$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x+y}}$，
令z=$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x+y}}$，則z²=$\frac{x+y+2\sqrt{xy}}{x+y}$≤$\frac{x+y+（x+y）}{x+y}$=2，
即有z≤$\sqrt{2}$，（當(dāng)且僅當(dāng)x=y取得最大值），
即有m≥$\sqrt{2}$．即m的最小值為$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的恒成立問(wèn)題的解法，考查最值的求法，注意運(yùn)用基本不等式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．