Question

1．如圖，以△ABC的邊BC為直徑作圓O交AC于D，過A點作AE⊥BC于E，AE交圓O于點G，交BD于點F．
（Ⅰ）證明：△FBE∽△CAE；
（Ⅱ）證明：GE²=EF•EA．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明兩組對應角相等，即可證明：△FBE∽△CAE；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得$\frac{EF}{EC}=\frac{BE}{AE}$，BE•EC=EF•EA，利用射影定理得，GE²=BE•EC，即可證明：GE²=EF•EA．

解答 證明：（Ⅰ）∵AE⊥BC，
∴∠BEF=∠AEC=90°           …2分
∵BC為直徑，∴∠BDC=90°
∴∠FBE+∠ACE=90°，∠CAE+∠ACE=90°
∴∠FBE=∠CAE                …4分
∴△FBE∽△CAE；                 …5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得$\frac{EF}{EC}=\frac{BE}{AE}$，∴BE•EC=EF•EA                 …7分
連接BG和CG，∵BC是直徑，∴∠BGC=90°，而AE⊥BC，
由射影定理得，GE²=BE•EC                               …9分
∴GE²=EF•EA．                                           …10分．

點評 本題考查三角形相似的判定與性質，考查射影定理，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．