16.某田徑隊(duì)有三名短跑運(yùn)動(dòng)員,根據(jù)平時(shí)訓(xùn)練情況統(tǒng)計(jì)甲、乙、丙三人100米跑(互不影響)的成績(jī)?cè)?3s內(nèi)(稱為合格)的概率分別為$\frac{2}{5}$,$\frac{3}{4}$,$\frac{1}{3}$,若對(duì)這三名短跑運(yùn)動(dòng)員的100米跑的成績(jī)進(jìn)行一次檢測(cè).求:
(1)三人都合格的概率;
(2)三人都不合格的概率;
(3)出現(xiàn)幾人合格的概率最大.

分析 (1)利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式,計(jì)算求得結(jié)果.
(2)把每個(gè)人不合格的概率相乘,即得所求.
(3)再求出僅一個(gè)人合格的概率、僅2個(gè)人合格的概率,結(jié)合前兩問,比較可的結(jié)論.

解答 解:(1)由題意可得,三人都合格的概率為$\frac{2}{5}$•$\frac{3}{4}$•$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{10}$;
(2)三人都不合格的概率為(1-$\frac{2}{5}$)•(1-$\frac{3}{4}$)•(1-$\frac{1}{3}$)=$\frac{1}{10}$;
(3)由于僅一個(gè)人合格的概率為$\frac{2}{5}$•(1-$\frac{3}{4}$)•(1-$\frac{1}{3}$)+(1-$\frac{2}{5}$)•$\frac{3}{4}$•(1-$\frac{1}{3}$)+(1-$\frac{2}{5}$)•(1-$\frac{3}{4}$)•$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{15}$+$\frac{3}{10}$+$\frac{1}{20}$=$\frac{5}{12}$,
僅2個(gè)人合格的概率為$\frac{2}{5}•\frac{3}{4}•(1-\frac{1}{3})$+$\frac{2}{5}•(1-\frac{3}{4})•\frac{1}{3}$+(1-$\frac{2}{5}$)•$\frac{3}{4}•\frac{1}{3}$=$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{30}$+$\frac{3}{20}$=$\frac{23}{60}$.
由以上可得,沒有人合格、三人都合格的概率都是 $\frac{1}{10}$,
∵$\frac{5}{12}$>$\frac{23}{60}$>$\frac{1}{10}$,故出現(xiàn)僅一人合格的概率最大.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查相互獨(dú)立事件的概率乘法公式,所求的事件的概率與它的對(duì)立事件的概率之間的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.

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