Question

12．已知函數(shù)f（x）=2-$\frac{2}{x}$．
（1）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）上的單調(diào)性并用定義證明；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-3，-1]上的最值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證得函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)遞增．
（2）由（1）可得函數(shù)f（x）在區(qū)間[-3，-1]上單調(diào)遞增，由此求得f（x）在區(qū)間[-3，-1]上的最值．

解答 解：（1）證明：對(duì)于函數(shù)f（x）=2-$\frac{2}{x}$，令x₁＜x₂＜0，
由于f（x₁）-f（x₂）=-$\frac{2}{{x}_{1}}$+$\frac{2}{{x}_{2}}$=$\frac{2{（x}_{1}{-x}_{2}）}{{x}_{1}{•x}_{2}}$，
而由題設(shè)可得x₁•x₂＞0，x₁-x₂＜0，∴$\frac{2{（x}_{1}{-x}_{2}）}{{x}_{1}{•x}_{2}}$＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)遞增．
（2）由（1）可得函數(shù)f（x）在區(qū)間[-3，-1]上單調(diào)遞增，
故當(dāng)x=-3時(shí)，f（x）取得最小值為2+$\frac{2}{3}$=$\frac{8}{3}$，當(dāng)x=-1時(shí)，f（x）取得最大值為2+2=4．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的定義，利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題．