Question

14．若函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)滿足：（1）對(duì)于任意不相等的x₁，x₂，有x₁f（x₂）+x₂f（x₁）＞x₁f（x₁）+x₂f（x₂）；（2）存在正數(shù)M，使得|f（x）|≤M，則稱函數(shù)f（x）為“單通道函數(shù)”，給出以下4個(gè)函數(shù)：
①$f（x）=sin（x+\frac{π}{4}）+cos（x+\frac{π}{4}）$，x∈（0，π）；
②g（x）=lnx+e^x，x∈[1，2]；
③h（x）=x³-3x²，x∈[1，2]；
④φ（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{2}^{-x}，-1≤x≤0}\\{lo{g}_{\frac{1}{2}}（x-1）-1，0＜x≤1}\end{array}\right.$，其中，“單通道函數(shù)”有（　　）

• A． ①③④
• B． ①②④
• C． ①③
• D． ②③

Answer 1

分析 分析條件（1），得出函數(shù)f（x）是單調(diào)減函數(shù)，條件（2）f（x）是有界函數(shù)；
再分析命題①②③④，得出滿足條件（1）（2）的函數(shù)即可．

解答 解：（1）對(duì)于任意不相等的x₁，x₂，有x₁f（x₂）+x₂f（x₁）＞x₁f（x₁）+x₂f（x₂）；
即不等式（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0恒成立，
所以函數(shù)f（x）是定義在I上的單調(diào)減函數(shù)；
（2）存在正數(shù)M，使得|f（x）|≤M，即-M≤f（x）≤M；
對(duì)于①，f（x）=sin（x+$\frac{π}{4}$）+cos（x+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{2}$）=$\sqrt{2}$cosx，
在x∈（0，π）時(shí)，f（x）是單調(diào)減函數(shù)，且|f（x）|＜$\sqrt{2}$≤$\sqrt{2}$，是“單通道函數(shù)”；
對(duì)于②，g（x）=lnx+e^x，在x∈[1，2]上是單調(diào)增函數(shù)，不滿足（1），不是“單通道函數(shù)”；
對(duì)于③，h（x）=x³-3x²，∴h′（x）=3x²-6x=3x（x-2），
∴x∈[1，2]時(shí)，h′（x）≤0，h（x）是單調(diào)減函數(shù)，
且h（1）=-2，h（2）=-4，∴-4≤h（x）≤-2，∴|h（x）|≤4，
∴h（x）是[1，2]上的“單通道函數(shù)”；
對(duì)于④，φ（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{2}^{-x}，-1≤x≤0}\\{lo{g}_{\frac{1}{2}}（x-1）-1，0＜x≤1}\end{array}\right.$，
x∈[-1，0]時(shí)，φ（x）=-2^-x=-${（\frac{1}{2}）}^{x}$是單調(diào)增函數(shù)，不滿足（1），∴不是“單通道函數(shù)”．
綜上，是“單通道函數(shù)”的為①③．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和有界性的應(yīng)用問題，將條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性的形式是解決本題的關(guān)鍵．