【題目】如圖,在四棱錐中,,,,,,.過直線的平面分別交棱,于E,F兩點.
(1)求證:;
(2)若直線與平面所成角為,且,,求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2)
【解析】
(1)由線面平行的性質(zhì)可得,取中點G,連接,則為平行四邊形,由平面幾何知識即,由線面平行的判定可得平面,再由線面垂直的性質(zhì)即可得證;
(2)由題意,E、F分別為、的中點,建立空間直角坐標(biāo)系,求出各點坐標(biāo)后,進(jìn)而可得平面的一個法向量為、平面的一個法向量,由即可得解.
(1)證明:∵,平面,∴平面,
又面面,∴,
取中點G,連接,如圖:
則為平行四邊形,
∴,又,,故,
∴,∴,
又,,∴平面,
∴平面,
又平面,∴;
(2)由(1)知平面,∴即為直線與平面所成角,
∴,∴,解得,
又,∴E,F分別為,的中點,
取中點O,連接,則,,
由平面可得,,故平面,
以O為原點,,,分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,如圖:
則,,,,,
故,,,
設(shè)平面的一個法向量為,
則,令得,
顯然是平面的一個法向量,
∴,
由題知二面角的余弦值為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市場研究人員為了了解產(chǎn)業(yè)園引進(jìn)的甲公司前期的經(jīng)營狀況,對該公司2019年連續(xù)六個月的利潤進(jìn)行了統(tǒng)計,并根據(jù)得到的數(shù)據(jù)繪制了相應(yīng)的折線圖,如圖所示:
(1)由折線圖可以看出,可用線性回歸模型擬合月利潤(單位:百萬元)與月份代碼之間的關(guān)系,求關(guān)于的線性回歸方程,并預(yù)測該公司2020年4月份的利潤;
(2)甲公司新研制了一款產(chǎn)品,需要采購一批新型材料,現(xiàn)有A,B兩種型號的新型材料可供選擇,按規(guī)定每種新型材料最多可使用4個月,但新材料的不穩(wěn)定性會導(dǎo)致材料的使用壽命不同,現(xiàn)對A,B兩種型號的新型材料對應(yīng)的產(chǎn)品各100件進(jìn)行科學(xué)模擬測試,得到兩種新型材料使用壽命的頻數(shù)統(tǒng)計如下表:
經(jīng)甲公司測算平均每件新型材料每月可以帶來6萬元收人入,不考慮除采購成本之外的其他成本,A型號材料每件的采購成本為10萬元,B型號材料每件的采購成本為12萬元.假設(shè)每件新型材料的使用壽命都是整月數(shù),且以頻率作為每件新型材料使用壽命的概率,如果你是甲公司的負(fù)責(zé)人,以每件新型材料產(chǎn)生利潤的平均值為決策依據(jù),你會選擇采購哪款新型材料?
參考數(shù)據(jù):,.
參考公式:回歸直線方程,其中.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在四棱錐P﹣ABCD中,△PAB是邊長為2的等邊三角形,底面ABCD為直角梯形,AB∥CD,AB⊥BC,BC=CD=1,PD.
(1)證明:AB⊥PD.
(2)求二面角A﹣PB﹣C的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】廠家在產(chǎn)品出廠前,需對產(chǎn)品做檢驗,第一次檢測廠家的每件產(chǎn)品合格的概率為,如果合格,則可以出廠;如果不合格,則進(jìn)行技術(shù)處理,處理后進(jìn)行第二次檢測.每件產(chǎn)品的合格率為,如果合格,則可以出廠,不合格則當(dāng)廢品回收.
求某件產(chǎn)品能出廠的概率;
若該產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為元/件,出廠價格為元/件,每次檢測費為元/件,技術(shù)處理每次元/件,回收獲利元/件.假如每件產(chǎn)品是否合格相互獨立,記為任意一件產(chǎn)品所獲得的利潤,求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】根據(jù)某地區(qū)氣象水文部門長期統(tǒng)計,可知該地區(qū)每年夏季有小洪水的概率為0.25,有大洪水的概率為0.05.
(1)從該地區(qū)抽取的年水文資料中發(fā)現(xiàn),恰好3年無洪水事件的概率與恰好4年有洪水事件的概率相等,求的值;
(2)今年夏季該地區(qū)某工地有許多大型設(shè)備,遇到大洪水時要損失60000元,遇到小洪水時要損失20000元.為保護(hù)設(shè)備,有以下3種方案:
方案1:修建保護(hù)圍墻,建設(shè)費為3000元,但圍墻只能防小洪水.
方案2:修建保護(hù)大壩,建設(shè)費為7000元,能夠防大洪水.
方案3:不采取措施.
試比較哪一種方案好,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點P(x0,y0)在曲線y=x2(x>0)上.已知A(0,-1),,n∈N*.記直線APn的斜率為kn.
(1)若k1=2,求P1的坐標(biāo);
(2)若k1為偶數(shù),求證:kn為偶數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】桂林漓江主要景點有象鼻山、伏波山、疊彩山、蘆笛巖、七星巖、九馬畫山,小張一家人隨機(jī)從這6個景點中選取2個進(jìn)行游玩,則小張一家人不去七星巖和疊彩山的概率為( ).
A.B.C.D.
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【題目】某公司為提高市場銷售業(yè)績,促進(jìn)某產(chǎn)品的銷售,隨機(jī)調(diào)查了該產(chǎn)品的月銷售單價(單位:元/件)及相應(yīng)月銷量(單位:萬件),對近5個月的月銷售單價和月銷售量的數(shù)據(jù)進(jìn)行了統(tǒng)計,得到如下表數(shù)據(jù):
月銷售單價(元/件) | 9 | 10 | 11 | ||
月銷售量(萬件) | 11 | 10 | 8 | 6 | 5 |
(Ⅰ)建立關(guān)于的回歸直線方程;
(Ⅱ)該公司開展促銷活動,當(dāng)該產(chǎn)品月銷售單價為7元/件時,其月銷售量達(dá)到18萬件,若由回歸直線方程得到的預(yù)測數(shù)據(jù)與此次促銷活動的實際數(shù)據(jù)之差的絕對值不超過萬件,則認(rèn)為所得到的回歸直線方程是理想的,試問:(Ⅰ)中得到的回歸直線方程是否理想?
(Ⅲ)根據(jù)(Ⅰ)的結(jié)果,若該產(chǎn)品成本是5元/件,月銷售單價為何值時(銷售單價不超過11元/件),公司月利潤的預(yù)計值最大?
參考公式:回歸直線方程,其中,.
參考數(shù)據(jù):,
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