Question

19．已知f（θ）=sin²θ+sin²（θ+α）+sin²（θ+β），其中α，β是適合0≤α≤β≤π的常數(shù)，試問(wèn)α，β取何值時(shí)f（θ）是與θ無(wú)關(guān)的定值．

Answer 1

分析 使用二倍角公式化簡(jiǎn)f（x），令含θ的三角函數(shù)的系數(shù)為0列方程，根據(jù)α，β的范圍求出．

解答 解：f（θ）=sin²θ+sin²（θ+α）+sin²（θ+β）=$\frac{1-cos2θ}{2}$+$\frac{1-cos（2θ+2α）}{2}$+$\frac{1-cos（2θ+2β）}{2}$
=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$cos2θ（1+cos2α+cos2β）+$\frac{1}{2}$sin2θ（sin2α+sin2β）．
∵f（θ）是與θ無(wú)關(guān)的定值，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+cos2α+cos2β=0}\\{sin2α+sin2β=0}\end{array}\right.$，∴cos2α=cos2β=-$\frac{1}{2}$，
∵0≤α≤β≤π，∴2α=$\frac{2π}{3}$，2β=$\frac{4π}{3}$，
∴α=$\frac{π}{3}$，β=$\frac{2π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．