Question

9．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，其左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，過F₁的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且△ABF₂的周長為4$\sqrt{5}$．
（1）求橢圓的方程；
（2）如圖，直線x=ty+m交橢圓于不同兩點(diǎn)C，D，若以線段CD為直徑的圓過原點(diǎn)O，求|CD|的取值范圍．

Answer 1

分析 （2）當(dāng)直線OC的斜率不存在或斜率為0時，可得|CD|=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{6}$．當(dāng)直線OC的斜率存在時，設(shè)直線OC的方程為y=kx（k≠0），直線OD的方程為：y=-$\frac{1}{k}$x聯(lián)立橢圓方程，解得x²，y²．可得|OC|²=x²+y²=$\frac{5+5{k}^{2}}{1+5{k}^{2}}$．同理可得|OD|²=$\frac{5+5{k}^{2}}{5+{k}^{2}}$．可得|CD|²=|OC|²+|OD|²，求得最小值，即可得出范圍．

解答 解：（1）由橢圓的定義可得|AF₁|+|AF₂|=|BF₁|+|BF₂|=2a，
即有△ABF₂的周長為|AB|+|AF₂|+|BF₂|
=|AF₁|+|AF₂|+|BF₁|+|BF₂|=4a=4$\sqrt{5}$，可得a=$\sqrt{5}$，
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，可得c=2，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{5}$+y²=1；
（2）當(dāng)直線OC的斜率不存在或斜率為0時，
可得|CD|=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{6}$，
當(dāng)直線OC的斜率存在時，
設(shè)直線OC的方程為y=kx（k≠0），直線OD的方程為：y=-$\frac{1}{k}$x
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{{x}^{2}+5{y}^{2}=5}\end{array}\right.$，解得x²=$\frac{5}{1+5{k}^{2}}$，y²=$\frac{5{k}^{2}}{1+5{k}^{2}}$．
∴|OC|²=x²+y²=$\frac{5+5{k}^{2}}{1+5{k}^{2}}$．
同理可得|OD|²=$\frac{5+5{k}^{2}}{5+{k}^{2}}$．
∴|CD|²=|OC|²+|OD|²=$\frac{5+5{k}^{2}}{1+5{k}^{2}}$+$\frac{5+5{k}^{2}}{5+{k}^{2}}$=$\frac{30（1+{k}^{2}）^{2}}{5{k}^{4}+26{k}^{2}+5}$
=$\frac{30}{5+\frac{16}{{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}+2}}$≥$\frac{10}{3}$，當(dāng)k²=1時取等號．
∴|CD|≥$\frac{\sqrt{30}}{3}$．
綜上可得，$\frac{\sqrt{30}}{3}$≤|CD|≤$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、勾股定理、直角三角形的面積、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．