Question

4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，|$\overrightarrow{OA}$|=2|$\overrightarrow{AB}$|=2，∠OAB=$\frac{2π}{3}$，$\overrightarrow{BC}$=（-1，$\sqrt{3}$）．
（1）求點(diǎn)B，C的坐標(biāo)；
（2）求證：四邊形OABC為等腰梯形．

Answer 1

分析 （1）平面直角坐標(biāo)系中，先寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，由向量$\overrightarrow{BC}$求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）由向量$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{OC}$共線且不等，得出四邊形OABC是梯形，再由|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{BC}$|，得出梯形OABC是等腰梯形．

解答 解：（1）平面直角坐標(biāo)系中，|$\overrightarrow{OA}$|=2|$\overrightarrow{AB}$|=2，
∴A（2，0），
又∠OAB=$\frac{2π}{3}$，設(shè)點(diǎn)B（x，y），
則x=2+cos（π-$\frac{2π}{3}$）=2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，
y=sin（π-$\frac{2π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴點(diǎn)B（$\frac{5}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；
又$\overrightarrow{BC}$=（-1，$\sqrt{3}$），
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（$\frac{5}{2}$-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\sqrt{3}$），即（$\frac{3}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）；
（2）證明：∵$\overrightarrow{AB}$=（$\frac{5}{2}$-2，$\frac{\sqrt{3}}{2}$-0）=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
$\overrightarrow{OC}$=（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OC}$，
∴AB∥OC，四邊形OABC是梯形；
又|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{BC}$|=2，
∴梯形OABC是等腰梯形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用平面向量的坐標(biāo)表示與運(yùn)算證明四邊形是等腰梯形的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．