Question

4．如圖，在平面直角坐標系中，|$\overrightarrow{OA}$|=2|$\overrightarrow{AB}$|=2，∠OAB=$\frac{2π}{3}$，$\overrightarrow{BC}$=（-1，$\sqrt{3}$）．
（1）求點B，C的坐標；
（2）求證：四邊形OABC為等腰梯形．

Answer 1

分析 （1）平面直角坐標系中，先寫出點A的坐標，再求出點B的坐標，由向量$\overrightarrow{BC}$求出點C的坐標；
（2）由向量$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{OC}$共線且不等，得出四邊形OABC是梯形，再由|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{BC}$|，得出梯形OABC是等腰梯形．

解答 解：（1）平面直角坐標系中，|$\overrightarrow{OA}$|=2|$\overrightarrow{AB}$|=2，
∴A（2，0），
又∠OAB=$\frac{2π}{3}$，設點B（x，y），
則x=2+cos（π-$\frac{2π}{3}$）=2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，
y=sin（π-$\frac{2π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴點B（$\frac{5}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；
又$\overrightarrow{BC}$=（-1，$\sqrt{3}$），
∴點C的坐標為（$\frac{5}{2}$-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\sqrt{3}$），即（$\frac{3}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）；
（2）證明：∵$\overrightarrow{AB}$=（$\frac{5}{2}$-2，$\frac{\sqrt{3}}{2}$-0）=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
$\overrightarrow{OC}$=（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OC}$，
∴AB∥OC，四邊形OABC是梯形；
又|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{BC}$|=2，
∴梯形OABC是等腰梯形．

點評 本題考查了利用平面向量的坐標表示與運算證明四邊形是等腰梯形的應用問題，是基礎題目．