Question

16．已知函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），且滿足f（4）=1，對任意x₁、x₂∈（0，+∞）都有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），當x∈（0，1）時，f（x）＜0．
（1）證明函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（2）解不等式f（3x+1）+f（2x-6）≤3．

Answer 1

分析 （1）由f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），可得f（x₁）-f（x₂）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$），結合x∈（0，1）時，f（x）＜0．及增函數(shù)的定義可證得結論；
（2）令x₁=x₂=4，可得f（16）=2，x₁=4，x₂=16，可得f（64）=3，結合f（x）的定義域為（0，+∞），f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），及（2）中函數(shù)的單調性，可將不等式f（3x+1）+f（2x-6）≤3轉化為一個關于x的不等式組．本題考查的知識點是抽象函數(shù)及其應用．

解答 （1）證明：設x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，
∵對任意x₁，x₂（0，+∞），都有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），
∴f（x₁）-f（x₂）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）
∵0＜x₁＜x₂，
∴0＜$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＜1，又當x∈（0，1）時，f（x）＜0，∴f（x₁）-f（x₂）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）＜0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)（6分）
（2）解：令x₁=x₂=4，則f（16）=f（4）+f（4）=2，
令x₁=4，x₂=16，則f（64）=f（4）+f（16）=3，（8分）
∴f（3x+1）+f（2x-6）≤3=f（64）
結合f（x）的定義域為（0，+∞），f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）恒成立
∴$\left\{\begin{array}{l}{3x+1＞0}\\{2x-6＞0}\\{（3x+1）（2x-6）≤64}\end{array}\right.$
∴x∈（3，5]（12分）

點評 本題考查的是抽象函數(shù)及其應用，函數(shù)的單調性證明，以及賦值法的應用，屬于中檔題，在解答的過程當中充分體現(xiàn)了函數(shù)單調性的定義、作差法以及賦值法等知識．值得同學們體會和反思．