Question

19．已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+1（a≠0）過點（-1，0），其圖象恒在直線y=x的上方且與此直線無交點．
（I）求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若f（x）在[-2，0]上的最小值為-$\frac{1}{8}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）由f（x）過點（-1，0）知，a=b-1，而由函數(shù)圖象在直線上方，可以得出a＞0，且f（x）-x＞0．由此可以得出a的取值范圍
（2）由f（x）在區(qū)間[-2，0]上的最小值為-$\frac{1}{8}$知，可以找到f（x）的對稱軸，通過對對稱軸取值的判斷，得知對稱軸就在[-2，0]上，所以函數(shù)f（x）再對稱軸處取得最小值．從而得出a的值．

解答 解：（1）∵f（x）過點（-1，0）
∴f（-1）=a-b+1=0
即a=b-1…①
∵f（x）的圖象在直線y=x上方且無交點
∴f（x）-x＞0恒成立，且a＞0
∴ax²+（b-1）x+1＞0恒成立
即得$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△＜0}\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{（b-1）^{2}-4a＜0}\end{array}\right.$
由①得：a²-4a＜0
即0＜a＜4
（2）由（1）得，f（x）=a（x+$\frac{a+1}{2a}$）²+1-$\frac{（a+1）^{2}}{4a}$
函數(shù)f（x）為開口向上的二次函數(shù)，對稱軸為x=-$\frac{a+1}{2a}$=-（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2a}$），
∵0＜a＜4，∴0＜$\frac{1}{a}$＜$\frac{1}{4}$
∴$\frac{1}{2}$＜$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2a}$＜$\frac{5}{8}$，∴對稱軸x的范圍是-$\frac{5}{8}$＜x＜-$\frac{1}{2}$，即對稱軸在[-2，0]內(nèi)．
∴f（x）在[-2，0]上的最小值為f（-$\frac{a+1}{2a}$）=-$\frac{（a-1）^{2}}{4a}$=-$\frac{1}{8}$
∴a=2或a=-$\frac{1}{2}$（舍去）
∴a=2

點評 本題考查二次函數(shù)與其他函數(shù)圖象位置關系問題和其對稱軸問題，屬于基礎題目．