Question

19．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是F₁，F(xiàn)₂，且|F₁F₂|=2．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）P為橢圓上一點(diǎn)，PF₁與y軸相交于Q，且$\overrightarrow{F_1P}$=2$\overrightarrow{F_1Q}$．若PF₁與橢圓相交于另一點(diǎn)R，求|PR|的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用離心率公式和a，b，c的關(guān)系，解方程可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（Ⅱ）由$\overrightarrow{F_1P}$=2$\overrightarrow{F_1Q}$，知Q為F₁P的中點(diǎn)，可設(shè)Q（0，y），由F₁（-1，0），則P（1，2y），代入橢圓方程，求得P的坐標(biāo)，求出直線PF₁的方程，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：（Ⅰ）由已知條件得$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，2c=2，
∴c=1，a=2，∴b=$\sqrt{3}$．
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；                      
（Ⅱ）由$\overrightarrow{F_1P}$=2$\overrightarrow{F_1Q}$，知Q為F₁P的中點(diǎn)，
可設(shè)Q（0，y），由F₁（-1，0），則P（1，2y），
又P滿足橢圓的方程，代入求得y=±$\frac{3}{4}$，可取P（1，$\frac{3}{2}$），
可得直線PF₁的方程為y=$\frac{3}{4}$（x+1），代入橢圓方程，
可得7x²+6x-13=0，
設(shè)P（x₁，y₁），R（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-$\frac{6}{7}$，x₁x₂=-$\frac{13}{7}$．
由弦長公式可得|PR|=$\sqrt{1+\frac{9}{16}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\frac{5}{4}$•$\sqrt{\frac{36}{49}+\frac{52}{7}}$=$\frac{25}{7}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用離心率公式，考查弦長的求法，注意聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，同時(shí)考查向量共線定理的運(yùn)用，屬于中檔題．