Question

9．已知點(diǎn)M是橢圓$\frac{{y}^{2}}{25}+\frac{{x}^{2}}{9}$=1上一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為橢圓的焦點(diǎn)，且△F₁MF₂的面積等于8，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 由題意求出橢圓的焦距，設(shè)出M的坐標(biāo)，代入三角形面積公式求得M的橫坐標(biāo)，再把M的橫坐標(biāo)代入橢圓方程求得M的縱坐標(biāo)得答案．

解答 解：依題意：a=5，b=3，
∴c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}=\sqrt{25-9}=4$，則|F₁F₂|=2c=8，
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），
∴${S}_{△{F}_{1}M{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}|x||{F}_{1}{F}_{2}|$=$\frac{1}{2}•8|x|=8$，
∴x=±2，將x=±2代入橢圓方程得，
$\frac{{y}^{2}}{25}+\frac{4}{9}=1$，∴y=±$\frac{5\sqrt{5}}{3}$．
∴M的坐標(biāo)為：（-2，$-\frac{5\sqrt{5}}{3}$），（-2，$\frac{5\sqrt{5}}{3}$），（2，-$\frac{5\sqrt{5}}{3}$），（2，$\frac{5\sqrt{5}}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了焦點(diǎn)三角形中的面積問(wèn)題，是中檔題．