Question

14．為振興蘇區(qū)發(fā)展，贛州市2016年計(jì)劃投入專項(xiàng)資金加強(qiáng)紅色文化基礎(chǔ)設(shè)施改造．據(jù)調(diào)查，改造后預(yù)計(jì)該市在一個(gè)月內(nèi)（以30天記），紅色文化旅游人數(shù)f（x）（萬(wàn)人）與日期x（日）的函數(shù)關(guān)系近似滿足：$f（x）=3-\frac{1}{20}x$，人均消費(fèi)g（x）（元）與日期x（日）的函數(shù)關(guān)系近似滿足：g（x）=60-|x-20|．
（1）求該市旅游日收入p（x）（萬(wàn)元）與日期x（1≤x≤30，x∈N^*）的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)x取何值時(shí)，該市旅游日收入p（x）最大．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件建立函數(shù)關(guān)系即可得到結(jié)論．
（2）根據(jù)分段函數(shù)的表達(dá)式，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可求出函數(shù)的最值．

解答 解：（1）$g（x）=\left\{\begin{array}{l}40+x（1≤x＜20，x∈N）\\ 80-x（20≤x≤30，x∈N）\end{array}\right.$（3分）
p（x）=f（x）•g（x），
$p（x）=\left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{20}{x^2}+x+120（1≤x＜20，x∈N）\\ \frac{1}{20}{x^2}-7x+240（20≤x≤30，x∈N）\end{array}\right.$（6分）
（2）由（1）可知，p（x）在[1，10]上為增函數(shù)，在[10，20）上為減函數(shù)（8分）
當(dāng)x∈[1，20）時(shí)，p（x）_max=p（10）=125（9分）
因?yàn)閜（x）在[20，30]上為減函數(shù)，
所以當(dāng)x∈[20，30]時(shí)，p（x）_max=p（20）=120（10分）
綜上所述，當(dāng)x=10時(shí)p（x）_max=125（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，根據(jù)條件建立函數(shù)關(guān)系，利用分段函數(shù)的表達(dá)式判斷函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．