Question

6．在數(shù)列{a_n}中，已知a₁=1，a_n+1-a_n=sin$\frac{（n+1）π}{2}$，記S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，則S₂₀₁₈=1010．

Answer 1

分析 由a₁=1，a_n+1=a_n+sin$\frac{（n+1）π}{2}$，可得a₂=a₁+sinπ=1，同理可得a₃=1-1=0，a₄=0+0=0，a₅=0+1=1，可得a₅=a₁，以此類推可得a_n+4=a_n．利用數(shù)列的周期性即可得出．

解答 解：由a₁=1，a_n+1=a_n+sin$\frac{（n+1）π}{2}$，
∴a₂=a₁+sinπ=1，同理可得a₃=1-1=0，a₄=0+0=0，a₅=0+1=1，
∴a₅=a₁，
可以判斷：a_n+4=a_n
數(shù)列{a_n}是一個(gè)以4為周期的數(shù)列，2018=4×504+2
∴S₂₀₁₈=504×（a₁+a₂+a₃+a₄）+a₁+a₂=504×（1+1+0+0）+1+1=1010，
故答案為：1010．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的周期性與三角函數(shù)的周期性相結(jié)合，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．