Question

16．如圖，三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠ACB=90°，PA=BC=AC，E為PC的中點，點F在PB上，且PF=$\frac{1}{3}$PB．
（1）求證：平面AEF⊥平面PBC；
（2）求直線AB和平面AEF所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）連接EF，通過證明BC⊥平面PAC得出BC⊥AE，結合AE⊥PC得出AE⊥平面PBC，于是平面AEF⊥平面PBC；
（2）以A為原點建立坐標系，設PA=1，求出$\overrightarrow{AB}$和平面AEF的法向量$\overrightarrow{n}$，則直線AB和平面AEF所成的角的正弦值為|cos＜$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{n}$＞|．

解答 證明：（1連接EF．
∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC，
又BC⊥AC，PA?平面PAC，AC?平面PAC，PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC，∵AE?平面PAC，
∴AE⊥BC．
∵PA=AC，E是PC的中點，
∴AE⊥PC，
又PC?平面PBC，BC?平面PBC，PC∩BC=C，
∴AE⊥平面PBC，∵AE?平面AEF，
∴平面AEF⊥平面PBC．
（2）以A為原點，以AC為x軸，BC的平行線為y軸，以AP為z軸建立空間直角坐標系，如圖所示：
設PA=AC=BC=1，則A（0，0，0），E（$\frac{1}{2}$，0，$\frac{1}{2}$），F（$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$），B（1，1，0），
∴$\overrightarrow{AB}$=（1，1，0），$\overrightarrow{AE}$=（$\frac{1}{2}，0，\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{AF}$=（$\frac{1}{3}，\frac{1}{3}，\frac{2}{3}$）．
設平面AEF的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}z=0}\\{\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}z=0}\end{array}\right.$，令z=1得$\overrightarrow{n}$=（-1，-1，1）．
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{AB}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{AB}|}$=$\frac{-2}{\sqrt{3}•\sqrt{2}}$=-$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴直線AB和平面AEF所成的角的正弦值為-$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查了面面垂直的判定，空間向量的應用與線面角的計算，屬于中檔題．