Question

5．已知函數(shù)f（x）=|x-a|，（a∈R）．
（1）若當(dāng)0≤x≤4時(shí)，f（x）≤2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值；
（2）當(dāng)0≤a≤3時(shí)，求證：f（x+a）+f（x-a）≥f（ax）-af（x）

Answer 1

分析 （1）解|x-a|≤2得，a-2≤x≤a+2，由當(dāng)0≤x≤4時(shí)，f（x）≤2恒成立，可得：$\left\{\begin{array}{l}a-2≤0\\ a+2≥4\end{array}\right.$，解得答案．
（2）由0≤a≤3可得|a-1|≤2，進(jìn)而f（ax）-af（x）≤2a，f（x+a）+f（x-a）≥2a．進(jìn)而得到答案．

解答 解：（1）解|x-a|≤2得，a-2≤x≤a+2，
∵當(dāng)0≤x≤4時(shí)，f（x）≤2恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}a-2≤0\\ a+2≥4\end{array}\right.$，
解得：a=2，
（2）∵0≤a≤3，
∴-1≤a-1≤2，
∴|a-1|≤2，
∴f（ax）-af（x）=|ax-a|-a|x-a|=|ax-a|-|ax-a²|≤|（ax-a）-（ax-a²）=|a²-a|=a|a-1|≤2a，
∵f（x+a）+f（x-a）=|x-2a|+|x|≥||（x-2a）-x|=|2a|=2a．
∴f（x+a）+f（x-a）≥f（ax）-af（x）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化以及分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．