Question

11．已知圓x²+y²-4x+2y-3=0和圓外一點M（4，-8）．
（1）求圓心坐標(biāo)和半徑長；
（2）過點M作直線與圓交于A，B兩點，若|AB|=4，求直線AB的方程．

Answer 1

分析 （1）求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可得到圓心與半徑．
（2）設(shè)出割線的方程，利用圓心距與半徑半弦長的關(guān)系，求解斜率，得到直線方程．

解答 解：（1）圓x²+y²-4x+2y-3=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x-2）²+（y+1）²=8，
圓心為P（2，-1），半徑r=2$\sqrt{2}$．（4分）
（2）①若割線斜率存在，設(shè)AB：y+8=k（x-4），即kx-y-4k-8=0．
設(shè)AB的中點為N，則|PN|=$\frac{|2k+1-4k-8|}{\sqrt{k2+1}}$=$\frac{|2k+7|}{\sqrt{k2+1}}$，
由|PN|²+$\frac{{{{|{AB}|}^2}}}{2}$=r²，得k=-$\frac{45}{28}$，
此時AB的直線方程為45x+28y+44=0．（7分）
②若割線斜率不存在，AB：x=4，代入圓方程得y²+2y-3=0，
解得y₁=1，y₂=-3，符合題意．                                                （10分）
綜上，直線AB的方程為45x+28y+44=0或x=4．（12分）

點評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，割線方程的求法，考查計算能力．