Question

20．已知直角三角形ABC的斜邊為AB，且A（-1，0），B（3，0），求：
（1）直角頂點C的軌跡方程；
（2）直角邊BC的中點M的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）利用直角三角形的性質(zhì)，圓的定義，即可求出直角頂點C的軌跡方程；
（2）利用代入法，求出直角邊BC的中點M的軌跡方程．

解答 解：（1）設(shè)AB中點為D，由中點坐標公式得D（1，0），由直角三角形的性質(zhì)知，|CD|=$\frac{1}{2}$|AB|=2，
由圓的定義知，動點C的軌跡是以D（1，0）為圓心，2為半徑長的圓（由于A，B，C三點不共線，所以應(yīng)除去與x軸的交點）．
所以直角頂點C的軌跡方程為（x-1）²+y²=4（x≠3且x≠-1）．
（2）設(shè)點M（x，y），點C（x₀，y₀），
因為B（3，0），M是線段BC的中點，由中點坐標公式得x=$\frac{{x}_{0}+3}{2}$（x≠3且x≠1），y=$\frac{{y}_{0}}{2}$，
于是有x₀=2x-3，y₀=2y．
由（1）知，點C在圓（x-1）²+y²=4（x≠3且x≠-1）上運動，
將x₀，y₀代入該方程得（2x-4）²+（2y）²=4，即（x-2）²+y²=1．
因此動點M的軌跡方程為（x-2）²+y²=1（x≠3且x≠1）．

點評 本題考查圓的方程，考查代入法，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．