Question

4．設(shè)x₁，x₂分別是函數(shù)y=$\frac{1}{{x}_{1}}$與y=e^x，y=1nx交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則x₁+2x₂的取值范圍是（3，+∞）．

Answer 1

分析 由題意可得e^x₁=$\frac{1}{{x}_{1}}$，${e}^{\frac{1}{{x}_{2}}}$=x₂，從而可得$\frac{1}{{x}_{1}}$=x₂，x₂＞1；再由函數(shù)的單調(diào)性求解．

解答 解：由題意可得，
x₁e^x₁=1，x₂log_ex₂=1；
故e^x₁=$\frac{1}{{x}_{1}}$，${e}^{\frac{1}{{x}_{2}}}$=x₂，
又∵y=e^x在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
故$\frac{1}{{x}_{1}}$=x₂，x₂＞1；
故x₁+2x₂=$\frac{1}{{x}_{2}}$+2x₂，
而y=$\frac{1}{{x}_{2}}$+2x₂在（1，+∞） 上是增函數(shù)，
故$\frac{1}{{x}_{2}}$+2x₂＞3；
故答案為：（3，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了方程的根的確定及函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．