10．若數(shù)列{an}滿足：a1=$\frac{2}{3}$，an+1-an=$\sqrt{\frac{2}{3}（{a}_{n+1}+{a}_{n}）}$，則a2007=1343352．

分析 a1=$\frac{2}{3}$，an+1-an=$\sqrt{\frac{2}{3}（{a}_{n+1}+{a}_{n}）}$，可得a2=2=$\frac{6}{3}$，a3=4=$\frac{12}{3}$，a4=$\frac{20}{3}$，…，猜想an=$\frac{{n}^{2}+n}{3}$，并驗證即可．

解答 解：∵a1=$\frac{2}{3}$，an+1-an=$\sqrt{\frac{2}{3}（{a}_{n+1}+{a}_{n}）}$，
可得a2=2=$\frac{6}{3}$，a3=4=$\frac{12}{3}$，a4=$\frac{20}{3}$，…，
猜想an=$\frac{{n}^{2}+n}{3}$，
代入an+1-an=$\sqrt{\frac{2}{3}（{a}_{n+1}+{a}_{n}）}$，驗證滿足條件．
∴an=$\frac{{n}^{2}+n}{3}$，
∴a2007=$\frac{200{7}^{2}+2007}{3}$=1343352．
故答案為：1343352．

點評 本題考查了遞推式的應用、猜想歸納能力，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．

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