Question

20．已知x∈R，2$\sqrt{2}$sinx+cosx=$\frac{6m-9}{4-m}$，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是[-1，$\frac{7}{3}$]．

Answer 1

分析 利用輔助角公式將函數(shù)進(jìn)行化簡，結(jié)合函數(shù)的值域即可得到結(jié)論．

解答 解：設(shè)f（x）=2$\sqrt{2}$sinx+cosx=3（$\frac{2\sqrt{2}}{3}$sinx+$\frac{1}{3}$cosx），
令cosα=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，sinα=$\frac{1}{3}$，
則f（x）=3（cosαsinx+sinαcosx）=3sin（x+α），
則-3≤f（x）≤3，
∵方程2$\sqrt{2}$sinx+cosx=$\frac{6m-9}{4-m}$，
∴-3≤$\frac{6m-9}{4-m}$≤3，
∵$\frac{6（m-4）+15}{4-m}=-6+$$\frac{15}{4-m}$，
∴不等式等價(jià)為∴-3≤-6+$\frac{15}{4-m}$≤3，
即3≤$\frac{15}{4-m}$≤9，
即1≤$\frac{5}{4-m}$≤3，
則$\frac{1}{3}$≤$\frac{4-m}{5}$≤1，
解得-1≤m≤$\frac{7}{3}$，
故答案為：[-1，$\frac{7}{3}$]

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)值的化簡和求解，以及三角函數(shù)值域的計(jì)算，利用輔助角公式將條件進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．