Question

2．已知函數(shù)g（x）=lnx-mx²-nx（m，n∈R）在x=2處取得最大值，則m的取值范圍為（　　）

• A． （-$\frac{1}{8}$，0）∪（0，+∞）
• B． （-$\frac{1}{8}$，+∞）
• C． （-∞，0）∪（0，$\frac{1}{8}$）
• D． （0，+∞）

Answer 1

分析 求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，由g（x）在x=2處取得最大值，也為極大值，即有g(shù)′（2）=0，即n=$\frac{1}{2}$-4m，運(yùn)用韋達(dá)定理求得1-2mx²-nx=0的另一個(gè)根，討論m的范圍，即可得到所求范圍．

解答 解：函數(shù)g（x）=lnx-mx²-nx的導(dǎo)數(shù)為g′（x）=$\frac{1}{x}$-2mx-n，
由g（x）在x=2處取得最大值，也為極大值，
即有g(shù)′（2）=0，即n=$\frac{1}{2}$-4m，
由1-2mx²-nx=0的一個(gè)根為2，
由韋達(dá)定理可得另一個(gè)根為-$\frac{1}{4m}$，
當(dāng)m＞0時(shí)，-$\frac{1}{4m}$＜0，g′（x）=0的根為2，
即有x=2取得極大值，也為最大值；
當(dāng)m＜0時(shí)，-$\frac{1}{4m}$＞2，解得-$\frac{1}{8}$＜m＜0，g（x）存在極大值和極小值，
x=2為最大值點(diǎn)．
當(dāng)m=0時(shí)，g′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2}$，可得g（x）在x=2處取得最大值，也為極大值．
綜上可得m的范圍為m＞-$\frac{1}{8}$．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，注意運(yùn)用函數(shù)在某個(gè)區(qū)間只有一個(gè)極值，即為最值的結(jié)論是解題的關(guān)鍵．