Question

12．已知函數(shù)f（x）=sin$\frac{x}{2}$+$\sqrt{3}$cos$\frac{x}{2}$，x∈R．
（1）求f（x）取最大值時相應(yīng)的x的集合；
（2）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 由三角函數(shù)化簡可得$y=sin\frac{x}{2}+\sqrt{3}cos\frac{x}{2}=2sin（\frac{x}{2}+\frac{π}{3}）$，
（1）當(dāng)$\frac{x}{2}+\frac{π}{3}=2kπ+\frac{π}{2}$，即$x=4kπ+\frac{π}{3}，k∈Z$時，y取得最大值，可得此時x的集合；
（2）由周期公式可得最小正周期，解$-\frac{π}{2}+2kπ≤\frac{x}{2}+\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$可得單調(diào)遞增區(qū)間．

解答 解：由三角函數(shù)化簡可得$y=sin\frac{x}{2}+\sqrt{3}cos\frac{x}{2}=2sin（\frac{x}{2}+\frac{π}{3}）$，
（1）當(dāng)$\frac{x}{2}+\frac{π}{3}=2kπ+\frac{π}{2}$，即$x=4kπ+\frac{π}{3}，k∈Z$時，y取得最大值2，
此時x的集合為$\left\{{x|x=4kπ+\frac{π}{3}，k∈Z}\right\}$；
（2）由周期公式可得最小正周期$T=\frac{2π}{{\frac{1}{2}}}=4π$，
解$-\frac{π}{2}+2kπ≤\frac{x}{2}+\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$可得$-\frac{5π}{3}+4kπ≤x≤\frac{π}{3}+4kπ，k∈Z$；
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為：$[-\frac{5π}{3}+4kπ，\frac{π}{3}+4kπ]，k∈Z$．

點評 本題考查三角函數(shù)恒等變換，涉及三角函數(shù)的周期性和最值，屬基礎(chǔ)題．