17.設(shè)函數(shù)f(x)=|2x-1|+|ax-1|(a>0)
(1)當a=2時,解不等式4f(x)≥f(0)
(2)若對任意x∈R,不等式4f(x)≥f(0)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

分析 (1)把要解的不等式等價轉(zhuǎn)化為與之等價的一個不等式,求出此不等式的解集,即得所求.
(2)分類討論求得f(x)的最小值,則由4乘以此最小值大于或等于f(0),求得a的范圍.

解答 解:(1)當a=2時,f(x)=|2x-1|+|2x-1|=2|2x-1|,不等式4f(x)≥f(0),即 8|2x-1|≥2,
即|2x-1|≥$\frac{1}{4}$,∴2x-1≥$\frac{1}{4}$,或2x-1≤-$\frac{1}{4}$,求得x≥$\frac{5}{8}$ 或x≤$\frac{3}{8}$,
故原不等式的解集為{x|x≥$\frac{5}{8}$ 或x≤$\frac{3}{8}$}.
(2)∵當$\frac{1}{a}$>$\frac{1}{2}$時,即0<a<2 時,f(x)=|2x-1|+|ax-1|=$\left\{\begin{array}{l}{2-(2+a)x,x<\frac{1}{2}}\\{(2-a)x,\frac{1}{2}≤x≤\frac{1}{a}}\\{(a+2)x-2,x>\frac{1}{a}}\end{array}\right.$,
若對任意x∈R,不等式4f(x)≥f(0)=2恒成立,
故f(x)的最小值為f($\frac{1}{2}$)=$\frac{2-a}{2}$,由4•$\frac{2-a}{2}$≥2,求得a≤1,
綜合可得,0<a≤1.
當當$\frac{1}{a}$<$\frac{1}{2}$時,即a>2 時,f(x)=|2x-1|+|ax-1|=$\left\{\begin{array}{l}{2-(2+a)x,x<\frac{1}{a}}\\{(a-2)x,\frac{1}{a}≤x≤\frac{1}{2}}\\{(2+a)x-2,x>\frac{1}{2}}\end{array}\right.$,
故f(x)的最小值為f($\frac{1}{a}$)=$\frac{a-2}{a}$,由4•$\frac{a-2}{a}$≥2,求得a≥4,
綜合可得,a≥4.
綜上可得,要求的實數(shù)a的取值范圍為{a|0<a≤1,或a≥4}.

點評 本題主要考查絕對值不等式的解法,函數(shù)的恒成立問題,利用單調(diào)性求函數(shù)的最小值,屬于中檔題.

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