Question

11．已知橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），F(xiàn)₁、F₂是橢圓上的左、右兩焦點(diǎn)且在x軸上．
（1）過橢圓的右焦點(diǎn)F₁作x軸的垂線交橢圓于P點(diǎn)，點(diǎn)A、B分別是橢圓與x軸負(fù)半軸、y軸正半軸的交點(diǎn)，且PF₂∥AB，求橢圓的離心率；
（2）過橢圓的右焦點(diǎn)F₂作x軸的垂線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若$\overline{OA}$•$\overline{OB}$=0求橢圓的離心率．

Answer 1

分析 （1）由PF₂⊥x軸，先求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再由PF₂∥AB，能得到b=2c，由此能求出橢圓的離心率．
（2）把x=c代入橢圓方程可得A（c，$\frac{^{2}}{a}$），B（c，-$\frac{^{2}}{a}$）．由$\overline{OA}$•$\overline{OB}$=0，可得c²-（$\frac{^{2}}{a}$）²=0，即可求橢圓的離心率．

解答 解：（1）∵PF₂⊥x軸，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)（c，$\frac{^{2}}{a}$），
k_AB=$\frac{a}$，${k}_{P{F}_{2}}$=$\frac{^{2}}{2ac}$，
∵PF₂∥AB，
∴k_AB=${k}_{P{F}_{2}}$，即$\frac{a}$=$\frac{^{2}}{2ac}$，
整理，得b=2c，
∴a²=b²+c²=5c²，即a=$\sqrt{5}$c，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
（2）把x=c代入橢圓方程可得y=±$\frac{^{2}}{a}$．
取A（c，$\frac{^{2}}{a}$），B（c，-$\frac{^{2}}{a}$）．
∵$\overline{OA}$•$\overline{OB}$=0，
∴c²-（$\frac{^{2}}{a}$）²=0，
化為ac-（a²-c²）=0，
∴e²+e-1=0，0＜e＜1，
解得e=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的離心率，考查了推理能力與計(jì)算能力，解題時(shí)要熟練掌握橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，屬于中檔題．