Question

10．為發(fā)展低碳經(jīng)濟，保護環(huán)境，某企業(yè)在政府部門的支持下，新上了一個“工業(yè)廢渣處理再利用”的環(huán)保項目，經(jīng)測算，該項目每月的處理成本y（元）與月處理量x（噸）之間的函數(shù)關系可以近似的表示為：
y=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}{x}^{3}-100{x}^{2}+7740x，x∈[120，160）}\\{\frac{1}{2}{x}^{2}-200x+80000，x∈[160，600）}\end{array}\right.$且每處理一噸“工業(yè)廢渣”，可得到能再利用的產(chǎn)品價值200元，若該項目不獲利，政府將給予補貼．
（1）當x∈[160，300）時，判斷該項日能否獲利，如果獲利，求出最大利澗；加果不獲利，則政府每月至少需要補貼多少元才能使該項目不虧損；
（2）求該項目每月出力量為多少噸時，每噸的平均處理成本最低．

Answer 1

分析 （1）先確定該項目獲利的函數(shù)，再利用配方法確定不會獲利，從而可求政府每月至少需要補貼的費用；
（2）確定工業(yè)廢渣的每噸的平均處理成本函數(shù)，分別求出分段函數(shù)的最小值，即可求得結論．

解答 解：（1）當x∈[160，300）時，該項目獲利為S，則S=200x-（$\frac{1}{2}$x²-200x+80000）=-$\frac{1}{2}$（x-400）²，
∴當x∈[160，300）時，S＜0，因此，該項目不會獲利
當x=300時，S取得最大值-5000，所以政府每月至少需要補貼5000元才能使該項目不虧損；
（2）由題意知，食品殘渣的每噸的平均處理成本為$\frac{y}{x}$
①當x∈[120，160）時，$\frac{y}{x}$=$\frac{1}{3}$x²-100x+7740=$\frac{1}{3}$（x-150）²+240
函數(shù)的對稱軸為x=$\frac{300}{2}$=150，
∴當x=150時，$\frac{y}{x}$取得最小值240；
②當x∈[160，500）時，$\frac{y}{x}$=$\frac{1}{2}$x+$\frac{80000}{x}$-200≥2$\sqrt{\frac{x}{2}•\frac{80000}{x}}$-200=400-200=200，
當且僅當$\frac{1}{2}x=\frac{80000}{x}$取等號，即x=400時，函數(shù)$\frac{y}{x}$取得最小值200，
∵200＜240
∴每月處理量為400噸時，才能使每噸的平均處理成本最低．

點評 本題考查函數(shù)模型的構建，考查函數(shù)的最值，考查利用數(shù)學知識解決實際問題，解題的關鍵是確定函數(shù)關系式，利用一元二次函數(shù)和基本不等式求最值是解決本題的關鍵．