Question

3．如圖，四棱錐P-ABCD，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠ABC=60°，M為側(cè)棱PD的三等分點(diǎn)（靠近D點(diǎn)），O為AC，BD的交點(diǎn)，且PO⊥面ABCD，PO=$\sqrt{6}$．
（1）若在棱PD上存在一點(diǎn)N，且BN∥面AMC，確定點(diǎn)N的位置，并說(shuō)明理由；
（2）求點(diǎn)B到平面MAC的距離．

Answer 1

分析 （1）點(diǎn)N是PM中點(diǎn)時(shí)，由MO為△BND的中位線，得BN∥平面AMC．
（2）由V_M-ABC=V_B-ABC，能求出B到平面MAC的距離．

解答 解：（1）N是PM中點(diǎn)．
理由如下：
∵M(jìn)為邊PD的三等分點(diǎn)，∴MO為△BND的中位線，
∴MO∥BN，MO?面AMC，BN?面AMC，
∴BN∥平面AMC．
（2）∵PO=$\sqrt{6}$，OD=$\sqrt{3}$，
∴PD=3，PM=2，MD=1，
∵CD²-DM²=PO²-PM²=OM²，
∴OM²+PM²=PO²，
∴OM⊥PD，∴OM=$\sqrt{2}$，
∴${S}_{△MAC}=\frac{1}{2}AC•OM=\sqrt{2}$，
V_M-ABC=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×4×\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$=V_B-ABC，
∴B到平面MAC的距離為1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查滿足線面平行的點(diǎn)的位置的確定，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．