Question

8．已知三棱錐S-ABC，滿足SA⊥SB，SB⊥SC，SC⊥SA，且SA=SB=SC，若該三棱錐外接球的半徑為$\sqrt{3}$，Q是外接球上一動點，則點Q到平面ABC的距離的最大值為$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$．

Answer 1

分析 由題意，三棱錐的外接球即為以SA，SB，SC為長寬高的正方體的外接球，求出球心到平面ABC的距離，即可求出點Q到平面ABC的距離的最大值．

解答 解：∵三棱錐S-ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SC⊥SA，且SA=SB=SC，
∴三棱錐的外接球即為以SA，SB，SC為長寬高的正方體的外接球，
∵該三棱錐外接球的半徑為$\sqrt{3}$，
∴正方體的體對角線長為2$\sqrt{3}$，
∴球心到平面ABC的距離為$\frac{1}{2}×\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
∴點Q到平面ABC的距離的最大值為$\sqrt{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$．
故答案為：$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$．

點評 本題考查點Q到平面ABC的距離的最大值，考查學生的計算能力，求出球心到平面ABC的距離是關鍵．