Question

12．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC為等腰直角三角形，∠ABC=90°，AB=4，AA₁=6，點M時BB₁中點．
（1）求證；平面A₁MC⊥平面AA₁C₁C；
（2）求點A到平面A₁MC的距離．

Answer 1

分析 （1）以B為原點，BC為x軸，BA為y軸，BB₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明平面A₁MC⊥平面AA₁C₁C．
（2）由$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（0，0，6），平面A₁MC的法向量$\overrightarrow{n}$=（3，-3，4），利用向量法能求出點A到平面A₁MC的距離．

解答 證明：（1）以B為原點，BC為x軸，BA為y軸，BB₁為z軸，建立空間直角坐標系，
由題意A₁（0，4，6），M（0，0，3），C（4，0，0），A（0，4，0），
$\overrightarrow{M{A}_{1}}$=（0，4，3），$\overrightarrow{MC}$=（4，0，-3），$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（0，0，6），$\overrightarrow{AC}$=（4，-4，0），
設平面A₁MC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{M{A}_{1}}=4y+3z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MC}=4x-3z=0}\end{array}\right.$，取x=3，得$\overrightarrow{n}$=（3，-3，4），
設平面AA₁C₁C的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{A}_{1}}=6c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=4a-4b=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，1，0），
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0，
∴平面A₁MC⊥平面AA₁C₁C．
解：（2）∵$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（0，0，6），平面A₁MC的法向量$\overrightarrow{n}$=（3，-3，4），
∴點A到平面A₁MC的距離：
d=$\frac{|\overrightarrow{A{A}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{24}{\sqrt{34}}$=$\frac{12\sqrt{34}}{17}$．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查點到平面的距離的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．