Question

20．$\frac{2cos20°+2sin20°-1}{2cos20°-2sin20°-1}$•tan25°的值為（　　）

• A． 2-$\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$
• D． 2+$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 把式子的分子分母利用和差化積公式變形，再化切為弦，拆角后利用兩角和與差的正弦和余弦變形，最后因式分解約分得答案．

解答 解：$\frac{2cos20°+2sin20°-1}{2cos20°-2sin20°-1}$•tan25°
=$\frac{2cos20°+2sin20°-1}{2cos20°-2sin20°-1}$•$\frac{sin25°}{cos25°}$
=$\frac{2（sin70°+sin20°）-1}{2（sin70°-sin20°）-1}$•$\frac{sin25°}{cos25°}$
=$\frac{4sin45°cos25°-1}{4sin25°cos45°-1}$•$\frac{sin25°}{cos25°}$
=$\frac{2\sqrt{2}cos25°-1}{2\sqrt{2}sin25°-1}$•$\frac{sin25°}{cos25°}$
=$\frac{\sqrt{2}sin50°-sin25°}{\sqrt{2}sin50°-cos25°}$
=$\frac{\sqrt{2}sin（45°+5°）-sin（30°-5°）}{\sqrt{2}sin（45°+5°）-cos（30°-5°）}$
=$\frac{\sqrt{2}sin45°cos5°+\sqrt{2}cos45°sin5°-sin30°cos5°+cos30°sin5°}{\sqrt{2}sin45°cos5°+\sqrt{2}cos45°sin5°-cos30°cos5°-sin30°sin5°}$
=$\frac{cos5°+sin5°-\frac{1}{2}cos5°+\frac{\sqrt{3}}{2}sin5°}{cos5°+sin5°-\frac{\sqrt{3}}{2}cos5°-\frac{1}{2}sin5°}$
=$\frac{\frac{1}{2}cos5°+\frac{2+\sqrt{3}}{2}sin5°}{\frac{2-\sqrt{3}}{2}cos5°+\frac{1}{2}sin5°}$
=$\frac{（2+\sqrt{3}）[\frac{cos5°}{2（2+\sqrt{3}）}+\frac{1}{2}sin5°]}{\frac{2-\sqrt{3}}{2}cos5°+\frac{1}{2}sin5°}$
=$\frac{（2+\sqrt{3}）（\frac{2-\sqrt{3}}{2}cos5°+\frac{1}{2}sin5°）}{\frac{2-\sqrt{3}}{2}cos5°+\frac{1}{2}sin5°}$
=$2+\sqrt{3}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求值，考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式以及和差化積公式的應(yīng)用，考查靈活變形能力，難度較大．