Question

12．已知cosα+cosβ+cosγ=0，sinα+sinβ+sinγ=0，且0＜α＜β＜γ＜2π，求
（1）β-α的值；
（2）cos²α+cos²β+cos²γ的值．

Answer 1

分析 （1）由已知等式表示出cosγ與sinγ，代入sin²γ+cos²γ=1中，整理后利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡即可得解β-α=$\frac{2π}{3}$或$\frac{4π}{3}$．①同理可得：γ-β=$\frac{2π}{3}$或$\frac{4π}{3}$②，γ-α=$\frac{2π}{3}$或$\frac{4π}{3}$③．解得β-α的值為$\frac{2π}{3}$．
（2）由（1）可得：β-α=$\frac{2π}{3}$，γ-β=$\frac{2π}{3}$，γ-α=$\frac{4π}{3}$，從而有：cos²α+cos²β+cos²γ=cos²α+cos²（α+$\frac{2π}{3}$）+cos²（α+$\frac{4π}{3}$），利用特殊角的三角函數(shù)值及兩角和的余弦函數(shù)公式即可化簡求值．

解答 解：（1）∵cosα+cosβ+cosγ=sinα+sinβ+sinγ=0，
∴cosγ=-cosα-cosβ，sinγ=-sinα-sinβ，
∵sin²γ+cos²γ=1，
∴（cosα+cosβ）²+（sinα+sinβ）²=1，
整理得：2+2（cosαcosβ+sinαsinβ）=1，即cosαcosβ+sinαsinβ=-$\frac{1}{2}$，
∴cos（β-α）=-$\frac{1}{2}$，
∵0＜α＜β＜2π，
∴0＜β-α＜2π
∴β-α=$\frac{2π}{3}$或$\frac{4π}{3}$．①
∴同理可得：cos（γ-β）=-$\frac{1}{2}$，解得：γ-β=$\frac{2π}{3}$或$\frac{4π}{3}$②．
cos（γ-α）=-$\frac{1}{2}$；解得：γ-α=$\frac{2π}{3}$或$\frac{4π}{3}$③．
∵0＜α＜β＜γ＜2π，
∴β-α=$\frac{2π}{3}$，γ-β=$\frac{2π}{3}$，γ-α=$\frac{4π}{3}$．
故β-α的值為$\frac{2π}{3}$．
（2）∵由（1）可得：β-α=$\frac{2π}{3}$，γ-β=$\frac{2π}{3}$，γ-α=$\frac{4π}{3}$．
∴cos²α+cos²β+cos²γ=cos²α+cos²（α+$\frac{2π}{3}$）+cos²（α+$\frac{4π}{3}$）
=cos²α+（-$\frac{1}{2}cosα+\frac{\sqrt{3}}{2}sinα$）²+（-$\frac{1}{2}cosα+\frac{\sqrt{3}}{2}sinα$）²
=$\frac{3}{2}$cos²α+$\frac{3}{2}$sin²α
=$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評 此題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，考查了三角函數(shù)的恒等變形，兩角和與差的三角函數(shù)，公式的正確應(yīng)用的解題關(guān)鍵，屬于中檔題．