Question

13．已知點(diǎn)A（0，2），拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，線段FA交拋物線于點(diǎn)B，過B作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為M，若AM⊥MF，求p的值．

Answer 1

分析 由拋物線的定義可得BM=BF，又 AM⊥MF，根據(jù)直角三角形斜邊的中點(diǎn)是外心可得故B 為線段AF的中點(diǎn)，求出B的坐標(biāo)代入拋物線方程求得 p值．

解答 解：由拋物線的定義可得BM=BF，F(xiàn)（$\frac{1}{2}$p，0），又 AM⊥MF，故B為線段AF的中點(diǎn)，
∴B（$\frac{1}{4}$p，1），
把B（$\frac{1}{4}$p，1）代入拋物線y²=2px（p＞0）得，
1=2p×$\frac{1}{4}$p，
∴p=$\sqrt{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，判斷B為線段AF的中點(diǎn)，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．