Question

4．如圖，某人在山腳P處測得甲山山頂A的仰角為30°，乙山山頂B的仰角為45°，∠APB的大小為45°，山腳P到山頂A的直線距離為2km，在A處測得山頂B的仰角為30°，則乙山的高度為2km．

Answer 1

分析 根據(jù)山頂?shù)难鼋强傻肁C=1，BP=$\sqrt{2}$BD，過A向乙山作垂線，則AB=2（BD-1），在△ABP中使用余弦定理列方程解出BD．

解答 解：假設(shè)甲山底部為C，乙山底部為D，過A作AE⊥BD于E．
由題意可知∠APC=30°，∠BPD=45°，AP=2，
∴AC=AP•sin30°=1，DE=AC=1，設(shè)BD=h，則DP=BD=h，BE=h-1，∴BP=$\sqrt{2}$h．
∵∠BAE=30°，∴AB=2BE=2h-2．
在△ABP中，由余弦定理得：cos45°=$\frac{A{P}^{2}+B{P}^{2}-A{B}^{2}}{2AP•BP}$=$\frac{4+2{h}^{2}-（{2h-2）}^{2}}{4\sqrt{2}h}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
解得h=2．
∴乙山的高度為2km．
故答案為：2．

點(diǎn)評 本題考查了余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題．