Question

9．在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸非負半軸為極軸建立極坐標系．已知曲線C的參數(shù)方程式：$\left\{\begin{array}{l}{x=4{t}^{2}}\\{y=4t}\end{array}\right.$（t是參數(shù)），直線l的極坐標方程式2pcosθ+psinθ-4=0．
（1）將曲線C的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，將直線l的極坐標方程化為直角坐標方程．
（2））若直線l與曲線C交于A，B，求AB中點的直角坐標．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)曲線C的參數(shù)方程式，由t=$\frac{1}{4}y$代入x=4t²消去參數(shù)t即可得出x；
由直線l的極坐標方程式2ρcosθ+ρsinθ-4=0，把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入即可得出．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點M（x₀，y₀），則$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-2，${y}_{0}=\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$．由${y}_{1}^{2}=4{x}_{1}$，${y}_{2}^{2}$=4x₂，相減可得y₀，進而得到x₀．

解答 解：（1）曲線C的參數(shù)方程式：$\left\{\begin{array}{l}{x=4{t}^{2}}\\{y=4t}\end{array}\right.$（t是參數(shù)），由t=$\frac{1}{4}y$代入x=4t²可得：y²=4x；
由直線l的極坐標方程式2ρcosθ+ρsinθ-4=0，可得2x+y-4=0．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點M（x₀，y₀），則$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-2，${y}_{0}=\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$．
∵${y}_{1}^{2}=4{x}_{1}$，${y}_{2}^{2}$=4x₂，∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$×（y₁+y₂）=4，∴-2×2y₀=4，解得y₀=-1．
∴2x₀-1-4=0，解得x₀=$\frac{5}{2}$．
∴線段AB中點的直角坐標為$（\frac{5}{2}，-1）$．

點評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標方程化為直角坐標方程、“點差法”、中點坐標公式、斜率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．