Question

2．已知F₁（-1，0）和F₂（1，0）是橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的兩個焦點，且點$P（1\;，\;\frac{3}{2}）$在橢圓C上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）直線l：y=kx+m（m＞0）與橢圓C有且僅有一個公共點，且與x軸和y軸分別交于點M，N，當(dāng)△OMN面積取最小值時，求此時直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由F₁（-1，0）和F₂（1，0）是橢圓的兩個焦點，且點$P（1\;，\;\frac{3}{2}）$在橢圓C上，求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ y=kx+m\end{array}\right.$，得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，由此利用根的判別式、韋達定理、弦長公式、基本不等式、橢圓性質(zhì)，結(jié)合已知條件能求出直線方程．

解答 （共13分）
解：（Ⅰ）∵F₁（-1，0）和F₂（1，0）是橢圓：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的兩個焦點，且點$P（1\;，\;\frac{3}{2}）$在橢圓C上，
∴依題意，c=1，又$2a=\sqrt{{{（1+1）}^2}+{{（\frac{3}{2}-0）}^2}}+\frac{3}{2}=\frac{8}{2}=4$，故a=2．
所以b²=3．
故所求橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．…（4分）
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ y=kx+m\end{array}\right.$，消y得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，
由直線l與橢圓C僅有一個公共點知，
△=64k²m²-4（4k²+3）（4m²-12）=0，整理得m²=4k²+3．  …（6分）
由條件可得k≠0，$M（-\frac{m}{k}\;，\;0）$，N（0，m）．
所以${S_{△OMN}}=\frac{1}{2}|{OM}|•|{ON}|=\frac{1}{2}|m|•|{\frac{m}{k}}|=\frac{m^2}{2|k|}$．          ①
將m²=4k²+3代入①，得${S_{△OMN}}=\frac{1}{2}•\frac{{4{k^2}+3}}{|k|}=\frac{1}{2}（4|k|+\frac{3}{|k|}）$．
因為|k|＞0，所以${S_{△OMN}}=\frac{1}{2}（4|k|+\frac{3}{|k|}）≥2\sqrt{3}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$|k|=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，即$k=±\frac{{\sqrt{3}}}{2}$時等號成立，S_△OMN有最小值$2\sqrt{3}$．
因為m²=4k²+3，所以m²=6，又m＞0，解得$m=\sqrt{6}$．…（11分）
故所求直線方程為$y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}x+\sqrt{6}$或$y=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}x+\sqrt{6}$． …（13分）

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程的求法，是中檔硅化木，解題時要認真審題，注意根的判別式、韋達定理、弦長公式、基本不等式、橢圓性質(zhì)的合理運用．