Question

7．若橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為5，最大值為15，則橢圓的短軸長(zhǎng)為10$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 不妨設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），a²=b²+c²．利用已知可得a-c=5，a+c=15，解出即可得出．

解答 解：不妨設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），a²=b²+c²．
∵橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為5，最大值為15，
∴a-c=5，a+c=15，
∴b²=a²-c²=5×15=75．
∴b=5$\sqrt{3}$．
則橢圓的短軸長(zhǎng)為10$\sqrt{3}$．
故答案為：10$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．