Question

18．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）與雙曲線D：$\frac{{x}^{2}}{4{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1 （a＞0，b＞0），直線l：x=$\frac{{a}^{2}}{c}$與雙曲線D的兩條漸近線分別交于點A，B．若橢圓E的右焦點F在以線段AB為直徑的圓內(nèi)，則橢圓的離心率e的取值范圍是$（\frac{\sqrt{3}}{2}，1）$．

Answer 1

分析 橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），可得F（c，0）．由雙曲線D：$\frac{{x}^{2}}{4{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1 （a＞0，b＞0），可得漸近線方程為：$y=±\frac{2a}x$．聯(lián)立解得A$（\frac{{a}^{2}}{c}，\frac{ab}{2c}）$，B$（\frac{{a}^{2}}{c}，-\frac{ab}{2c}）$．由于橢圓E的右焦點F在以線段AB為直徑的圓內(nèi)，
可得$\frac{{a}^{2}}{c}-c$＜$\frac{ab}{2c}$，化簡整理，利用離心率計算公式即可得出．

解答 解：橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），可得F（c，0）．
由雙曲線D：$\frac{{x}^{2}}{4{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1 （a＞0，b＞0），可得漸近線方程為：$y=±\frac{2a}x$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=±\frac{2a}x}\\{x=\frac{{a}^{2}}{c}}\end{array}\right.$，解得A$（\frac{{a}^{2}}{c}，\frac{ab}{2c}）$，B$（\frac{{a}^{2}}{c}，-\frac{ab}{2c}）$．
∵橢圓E的右焦點F在以線段AB為直徑的圓內(nèi)，
∴$\frac{{a}^{2}}{c}-c$＜$\frac{ab}{2c}$，
化為2b＜a，即$\frac{a}＜\frac{1}{2}$．
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-（\frac{a}）^{2}}$$＞\frac{\sqrt{3}}{2}$．
又e＜1．
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}＜e＜1$．
∴橢圓的離心率e的取值范圍是$（\frac{\sqrt{3}}{2}，1）$．
故答案為：$（\frac{\sqrt{3}}{2}，1）$．

點評 本題考查了橢圓與圓的及其 雙曲線的標準方程及其性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．