Question

13．已知$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$、$\overrightarrow{c}$滿足$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$=0，且$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為135°，$\overrightarrow$與$\overrightarrow{c}$的夾角為120°，|$\overrightarrow{c}$|=2，則|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{6}$，|$\overrightarrow$|=1+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由已知$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$=0，可知三個向量首尾相接后，構(gòu)成一個三角形，且$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為135°，$\overrightarrow$與$\overrightarrow{c}$的夾角為120°，可以得到三角形的兩個內(nèi)角和一邊的長，利用正弦定理，可求出向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$對應(yīng)邊的長度．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$=0，
∴三個向量首尾相接后，構(gòu)成一個三角形
且$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為135°，$\overrightarrow$與$\overrightarrow{c}$的夾角為120°，|$\overrightarrow{c}$|=2，
故所得三角形如下圖示：
其中∠C=45°，∠A=60°，AB=2
∴|$\overrightarrow{a}$|=$\frac{ABsinA}{sinC}=\frac{2×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{6}$；
|$\overrightarrow$|=$\frac{ABsinB}{sinC}=\frac{2sin75°}{sin45°}$=1+$\sqrt{3}$；
故答案為：$\sqrt{6}；1+\sqrt{3}$．

點評 本題考查了向量的三角形法則的運用以及利用正弦定理求三角形的邊長．關(guān)鍵是明確三個向量的位置關(guān)系．