Question

16．已知拋物線C的頂點在坐標原點O，焦點F在x軸的正半軸上，拋物線上的點N到F的距離為2，且N的橫坐標為1，過焦點F作傾斜角為銳角的直線l交拋物線于A、B兩點，且與其準線交于點D．
（1）求拋物線C的標準方程；
（2）若線段AB的長為8，求直線l的方程；
（3）在C上是否存在點M，使得對任意直線l，直線MA、MD、MB的斜率始終滿足2k_MD=k_MA+k_MB？若存在，求點M的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可設(shè)拋物線方程為：y²=2px，利用$1+\frac{p}{2}$=|NF|=2，解得p即可得出；
（2）F（1，0），設(shè)直線l方程為y=k（x-1），（k＞0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），與拋物線方程聯(lián)立化為k²x²-（4+2k²）x+k²=0，利用|AB|=x₁+x₂+p=8．即可解出k．
（3）假設(shè)存在M$（\frac{{t}^{2}}{4}，t）$，$A（\frac{{y}_{1}^{2}}{4}，{y}_{1}）$，B$（\frac{{y}_{2}^{2}}{4}，{y}_{2}）$，直線l方程my=x-1（m＞0）．D$（-1，\frac{-2}{m}）$．直線l方程與拋物線方程聯(lián)立化為y²-4my-4=0，利用斜率計算公式與根與系數(shù)的關(guān)系，及其滿足2k_MD=k_MA+k_MB，可得$\frac{2（mt+2）}{m（{t}^{2}+4）}$=$\frac{1}{t+{y}_{1}}+\frac{1}{t+{y}_{2}}$，化為（t²-4）m²=0，解出即可．

解答 解：（1）由題意可設(shè)拋物線方程為：y²=2px，
∵$1+\frac{p}{2}$=|NF|=2，解得p=2．
∴拋物線方程為：y²=4x．
（2）F（1，0），
設(shè)直線l方程為y=k（x-1），（k＞0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化為k²x²-（4+2k²）x+k²=0，
∴x₁+x₂=$\frac{4+2{k}^{2}}{{k}^{2}}$．
∵|AB|=8，∴$\frac{4+2{k}^{2}}{{k}^{2}}$+2=8，
化為k²=1，又k＞0，
解得k=1．
∴直線l的方程為：y=x-1．
（3）假設(shè)存在M$（\frac{{t}^{2}}{4}，t）$，$A（\frac{{y}_{1}^{2}}{4}，{y}_{1}）$，B$（\frac{{y}_{2}^{2}}{4}，{y}_{2}）$，直線l方程my=x-1（m＞0）．
D$（-1，\frac{-2}{m}）$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{my=x-1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化為y²-4my-4=0，∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4．
k_MD=$\frac{t+\frac{2}{m}}{\frac{{t}^{2}}{4}+1}$=$\frac{4（mt+2）}{m（{t}^{2}+4）}$，k_MA=$\frac{t-{y}_{1}}{\frac{{t}^{2}}{4}-\frac{{y}_{1}^{2}}{4}}$=$\frac{4}{t+{y}_{1}}$，k_MB=$\frac{4}{t+{y}_{2}}$，
∵滿足2k_MD=k_MA+k_MB，
∴$\frac{2（mt+2）}{m（{t}^{2}+4）}$=$\frac{1}{t+{y}_{1}}+\frac{1}{t+{y}_{2}}$，
∵$\frac{1}{t+{y}_{1}}+\frac{1}{t+{y}_{2}}$=$\frac{2t+{y}_{1}+{y}_{2}}{{t}^{2}+t（{y}_{1}+{y}_{2}）+{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{2t+4m}{{t}^{2}+4tm-4}$，
∴$\frac{mt+2}{m（{t}^{2}+4）}$=$\frac{2t+4m}{{t}^{2}+4tm-4}$，
化為（t²-4）m²=0，
因此對于m²＞0，可得t²-4=0，解得t=±2．
因此存在M（1，±2）滿足2k_MD=k_MA+k_MB．

點評 本題考查了拋物線的標準方程及其性質(zhì)、焦點弦長公式、直線與拋物線相交轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計算公式等基礎(chǔ)知識與基本技能，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．