Question

16．設(shè)函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，x＜0}\\{asin2x，0≤x≤π}\end{array}\right.$．若方程f（x）=1有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （1，+∞）
• B． {-1}∪（1，+∞）
• C． （-∞，-1）
• D． （-∞，-1）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 當(dāng)x＜0時(shí)，由f（x）=x²=1得x=-1；從而可得，當(dāng)0≤x≤π時(shí)，方程sin2x=$\frac{1}{a}$有2個(gè)不同的解；作函數(shù)y=sin2x，（0≤x≤π）的圖象，結(jié)合圖象求解即可．

解答 解：當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=x²=1，解得，x=-1；
∵方程f（x）=1有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
∴當(dāng)0≤x≤π時(shí)，方程f（x）=1可化為asin2x=1；
顯然可知a=0時(shí)方程無解；
故方程可化為sin2x=$\frac{1}{a}$，且有2個(gè)不同的解；
作函數(shù)y=sin2x，（0≤x≤π）的圖象如下，

結(jié)合圖象可得，
0＜$\frac{1}{a}$＜1或-1＜$\frac{1}{a}$＜0；
解得，a∈（-∞，-1）∪（1，+∞）；
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用及方程的根與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)的應(yīng)用，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，屬于中檔題．