Question

4．已知橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂．
（1）若點(diǎn)A（0，b）與焦點(diǎn)F₁、F₂構(gòu)成△AF₁F₂為等腰直角三角形，求橢圓的離心率．
（2）若橢圓E的離心率為$\frac{1}{2}$，過點(diǎn)P（0，1）的直線與橢圓交于B、C兩點(diǎn)，且當(dāng)點(diǎn)B、C關(guān)于y軸對稱時(shí)，|BC|=$\frac{{4\sqrt{6}}}{3}$，求橢圓E的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意可得c=b，由a，b，c的關(guān)系和離心率公式，計(jì)算即可得到；
（2）由離心率為$\frac{1}{2}$，可得3a²=4b²，①，再由B，C關(guān)于y軸對稱，可得它們的縱坐標(biāo)為1，代入橢圓方程，結(jié)合條件可得a，b的方程，解方程，即可得到a²=4，b²=3，則橢圓方程可得．

解答 解：（1）△AF₁F₂為等腰直角三角形，
則|OA|=|OF₁|，即b=c，
c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$，即有c=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，可得a²=4c²=4（a²-b²），
即3a²=4b²，①
由B，C關(guān)于y軸對稱，設(shè)B（m，n），C（-m，n），
|BC|=2|m|，又P為BC的中點(diǎn)，則2n=2，即n=1，
由$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{n}^{2}}{^{2}}$=1可得|m|=$\frac{a}$$\sqrt{^{2}-1}$，
由題意可得$\frac{2a}$$\sqrt{^{2}-1}$=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，②
由①②解得a²=4，b²=3，
則橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的離心率的運(yùn)用和方程的運(yùn)用，注意點(diǎn)在橢圓上滿足橢圓方程，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．