Question

17．已知F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的兩焦點(diǎn)，過(guò)F₁且垂直于x軸的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，若△PQF₂為正三角形，則橢圓的離心率是（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 先求出PF₁ 的長(zhǎng)，直角三角形PF₁F₂ 中，由邊角關(guān)系得tan30°=$\frac{P{F}_{1}}{{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{\frac{^{2}}{a}}{2c}$，建立關(guān)于離心率的方程，解方程求出離心率的值

解答 解：由已知可得，PF₁=$\frac{^{2}}{a}$
∵tan30°=$\frac{P{F}_{1}}{{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{\frac{^{2}}{a}}{2c}$=$\frac{1-{e}^{2}}{2e}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
∴$\sqrt{3}{e}^{2}+2e-\sqrt{3}=0$
∵0＜e＜1
∴e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，直角三角形中的邊角關(guān)系，解方程求離心率的大�。�