Question

11．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1上一點(diǎn)A（2，$\sqrt{2}$），點(diǎn)B是橢圓上任意一點(diǎn)（異于點(diǎn)A），過(guò)點(diǎn)B作與直線OA平行的直線l交橢圓于點(diǎn)C，當(dāng)直線AB、AC斜率都存在時(shí)，k_AB+k_AC=0．

Answer 1

分析 設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），由題意可設(shè)直線BC的方程為y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+t，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，再由直線的斜率公式，化簡(jiǎn)整理，即可得到所求和．

解答 解：設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
由OA的斜率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可設(shè)直線BC的方程為y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+t，
代入橢圓的方程可得x²+$\sqrt{2}$tx+t²-4=0，
即有x₁+x₂=-$\sqrt{2}$t，x₁x₂=t²-4，
k_AB+k_AC=$\frac{{y}_{1}-\sqrt{2}}{{x}_{1}-2}$+$\frac{{y}_{2}-\sqrt{2}}{{x}_{2}-2}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}{x}_{1}+t-\sqrt{2}}{{x}_{1}-2}$+$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}{x}_{2}+t-\sqrt{2}}{{x}_{2}-2}$
=$\frac{\sqrt{2}{x}_{1}{x}_{2}-\sqrt{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）+（t-\sqrt{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}-4）}{（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）}$，
由$\sqrt{2}$x₁x₂-$\sqrt{2}$（x₁+x₂）+（t-$\sqrt{2}$）（x₁+x₂-4）
=$\sqrt{2}$（t²-4）+2t+（t-$\sqrt{2}$）（-$\sqrt{2}$t-4）=0，
可得k_AB+k_AC=0，
故答案為：0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和運(yùn)用，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，考查直線的斜率公式的運(yùn)用，以及化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．