Question

12．已知函數(shù)f（x）=x³-2tx²-x+1（t∈R）且f′（1）=0．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的極值．

Answer 1

分析 （1）先求導，根據(jù)f′（1）=0，求出t的值，繼而求出f（x）的解析式；
（2）根據(jù)導數(shù)和函數(shù)的極值的關(guān)系即可求出．

解答 解：（Ⅰ） y=f'（x）=3x²-4tx-1，
∵f′（1）=3-4t-1=0，
∴$t=\frac{1}{2}$
即f（x）=x³-x²-x+1；
（Ⅱ）令f'（x）=3x²-2x-1=（3x+1）（x-1）=0，
解得${x_1}=-\frac{1}{3}$，x₂=1，
∴

x	（-∞，-$\frac{1}{3}$）	$-\frac{1}{3}$	（-$\frac{1}{3}$，0）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）		極大值$\frac{32}{27}$		極小值0

∴當$x=-\frac{1}{3}$時有極大值$f（-\frac{1}{3}）=\frac{32}{27}$，
當x=1時有極小值f（1）=0．

點評 本題主要考查函數(shù)、導數(shù)等基本知識．考查運算求解能力及化歸思想、函數(shù)方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．