Question

1．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且以坐標原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線$x-y+\sqrt{2}=0$相切．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若一條不過原點的直線l與橢圓相交于A，B兩點，設直線OA，l，OB的斜率分別為k₁，k，k₂，且k₁，k，k₂恰好構成等比數(shù)列．求|OA|²+|OB|²的值．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，以坐標原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線$x-y+\sqrt{2}=0$相切，求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設直線l的方程為y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入橢圓方程，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，由此利用韋達定理、根的判別式、等比數(shù)列、橢圓性質，結合已恬知條件能求出|OA|²+|OB|²的值．

解答 解：（1）∵橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴由題意知e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴e2=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，
整理，得a²=4b²，∴a=2b，
又∵以坐標原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線$x-y+\sqrt{2}=0$相切，
∴b=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+1}}$=1，∴a=2，
故橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（2）設直線l的方程為y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由直線l的方程代入橢圓方程，消去y得：（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，且△=16（1+4k²-m²）＞0，
∵k₁、k、k₂恰好構成等比數(shù)列．
∴k²=k₁k₂=$\frac{（k{x}_{1}+m）（k{x}_{2}+m）}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
∴-4k²m²+m²=0，
∴k=±$\frac{1}{2}$，
此時△=16（2-m²）＞0，即m∈（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），
∴x₁+x₂=±2m，x₁x₂=2m²-2
∴|OA|²+|OB|²=${{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}$=$\frac{3}{4}$[（x₁+x₂）²-2x₁x₂]+2=5，
∴|OA|²+|OB|²是定值為5．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查代數(shù)和為定值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意韋達定理、根的判別式、等比數(shù)列、橢圓性質的合理運用．