Question

6．定義在區(qū)間（0，+∞）上的函數(shù)f（x）使不等式2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，其中f′（x）為f（x）的導(dǎo)數(shù)，則（　�。�

• A． 8＜$\frac{f（2）}{f（1）}$＜16
• B． 4＜$\frac{f（2）}{f（1）}$＜8
• C． 3＜$\frac{f（2）}{f（1）}$＜4
• D． 2＜$\frac{f（2）}{f（1）}$＜3

Answer 1

分析 令g（x）=g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$，h（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$，求出g（x），h（x）的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)g（x），h（x）的單調(diào)性，可得g（2）＜g（1），h（2）＞h（1），由f（1）＞0，即可得到4＜$\frac{f（2）}{f（1）}$＜8．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$，
則g′（x）=$\frac{f′（x）•{x}^{3}-3{x}^{2}f（x）}{{x}^{6}}$=$\frac{xf′（x）-3f（x）}{{x}^{4}}$，
∵xf′（x）＜3f（x），即xf′（x）-3f（x）＜0，
∴g′（x）＜0在（0，+∞）恒成立，
即有g(shù)（x）在（0，+∞）遞減，可得
g（2）＜g（1），即$\frac{f（2）}{8}$＜$\frac{f（1）}{1}$，
由2f（x）＜3f（x），可得f（x）＞0，則$\frac{f（2）}{f（1）}$＜8；
令h（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$，h′（x）=$\frac{f′（x）•{x}^{2}-2xf（x）}{{x}^{4}}$=$\frac{xf′（x）-2f（x）}{{x}^{3}}$，
∵xf′（x）＞2f（x），即xf′（x）-2f（x）＞0，
∴h′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，
即有h（x）在（0，+∞）遞增，可得
h（2）＞h（1），即$\frac{f（2）}{4}$＞f（1），則$\frac{f（2）}{f（1）}$＞4．
即有4＜$\frac{f（2）}{f（1）}$＜8．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，構(gòu)造g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$，h（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$，求出g（x）和h（x）的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)g（x）和h（x）的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵，本題是一道中檔題．